data: 2023-10-02
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: I numeri Naturali - Sommario
tipologia: sommario
stato: "0"A. Struttura di N
I numeri naturali: definizione, proprietà strutturali, definizioni delle operazioni, relazione d'ordine totale
data: 2023-10-02
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Definizione, strutture e operazioni dei numeri naturali
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione intuitiva dell'insieme dei numeri naturali
DEF 1. Si definisce l'insieme dei numeri naturali come l'insieme dei numeri che servono per contare, aggiungendoci il numero
L'operazione somma/addizione gode delle seguenti tre proprietà.
PROPRIETA' 2.1.1. La proprietà associativa dice che
DEF 2.2. Si definisce su
L'operazione prodotto/moltiplicazione gode delle seguenti tre proprietà.
PROPRIETA' 2.1.1. La proprietà associativa dice che
DEF 2.3. Esiste una proprietà che lega le operazioni
DEF 2.4. Su
OSS 2.4.1. Essa è compatibile con le altre operazioni, ovvero
DEF 3. Avendo appena visto le operazioni
data: 2023-10-02
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Untitled
tipologia: appunti
stato: "1"Assiomi di G. Peano; significato nella matematica, quali sono. Il principio di induzione; le applicazioni del principio di induzione: dimostrazione per induzione e definizioni. Successioni.
OSS 1. Mi pongo il seguente problema: è possibile trovare degli assiomi (ovvero delle prime proprietà che non vengono dimostrate ma sapute a priori) su
Quindi sto riflettendo sui fondamenti della matematica, in particolare sui numeri naturali
Gli assiomi di Peano soddisfano tutte le seguenti regole enunciate:
(0.) Esiste un insieme
OSS 2.1. Dagli assiomi 2.1. e 2.2. appena enunciate è possibile dedurre che l'insieme
DEF 2.1. Il sistema di Peano
Secondo gli seguenti assiomi appena enunciati, si può definire un sistema di Peano come la terna
OSS 2.2. Si nota che la scelta dell'"elemento iniziale" (ovvero in questo caso
Questa osservazione diventerà molto importante per il principio di induzione.
APPROFONDIMENTO. (tratto da Analisi Matematica Vol. 1, E. Giusti). Se si vuole essere bibliograficamente accurati, allora bisognerebbe specificare che ci sono altri quattro assiomi di Peano, che sono piuttosto assiomi logici e abbastanza intuitivi, ovvero:
Uno degli assiomi più importanti appena enunciati è l'assioma 4., che viene definito anche come il principio di induzione, che enuncia il seguente:
Per capire fino a fondo l'idea del principio d'induzione si può riflettere sulla funzione successivo
Se
Il principio di induzione può essere utilizzato principalmente per due scopi: o definire oggetti o verificare/dimostrare delle proprietà (ovvero dei predicati unaripredicati unari); nel primo caso si parla di definizione per ricorrenza e invece nel secondo di dimostrazione per induzione.
In questa pagina si parlerà principalmente di dimostrazione per induzione, corredato da vari esempi.
L'idea per la dimostrazione per induzione consiste nel seguente:
Si vedono alcuni esempi sulla dimostrazione per induzione in Esempi di InduzioneEsempi di Induzione
Sia
Lo rappresentiamo con
Si può definire la sommatoria
DEF 4.2.2. Si pone
Similmente si definisce la produttoria
data: 2023-11-01
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Successione e Sottosuccessione
tipologia: appunti
stato: "1"Appunto ad-hoc sulle successioni e sulle sottosuccessioni (successioni estratte)
Sia
Se
Si definisce una successione limitata quando si verifica che
Data una funzione
Idea. L'idea di questo concetto consiste nel "selezionare" alcuni elementi di una successione e poi di "ricompattarli", ottenendo così una nuova successione. Consideriamo ad esempio la successione
Osservo che secondo questa "costruzione" di una successione estratta, la monotonia crescente della "successione degli indici"
data: 2023-10-04
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Esempi di Induzione
tipologia: appunti
stato: "1"Esempi sulle prove per induzione. Articolo creato ad-hoc per la quantità presente degli esempi, rendendo il file originario troppo pesante.
Si racconta che quando il matematico C. F. Gauss frequentava le scuole elementari, il suo professore di matematica aveva dato un esercizio da fare in quanto punizione: ovvero quello di sommare tutti i numeri da
Alla sorpresa del professore e dei suoi compagni, Gauss riuscì, non solo a risolvere il problema quasi immediatamente consegnando la sua lavagna sulla cattedra, ma anche essere l'unico alunno ad aver dato la risposta corretta:
Grazie alla sua intuizione, Gauss riuscì a ingegnare un metodo per calcolare quel numero con una velocità strabiliante: ovvero quella di determinare la somma da
Generalizzando da questo aneddoto abbiamo la seguente proprietà:
DIM.
1. Caso base: verificare
Provare che per ogni
Sia
PROVARE CHE VALE LA PROPRIETA'
Provare
Supponendo che
Ora prendiamo
Ora vogliamo dimostrare che il membro destro della disuguaglianza è necessariamente maggiore di
Sia
PROVARE CHE PER OGNI
PROVARE CHE PER OGNI
PROBLEMA. Disegniamo nel piano una retta e notiamo subito che questa retta suddivide il piano in 2 "regioni"; ora disegniamo 2 rette e vediamo che ora abbiamo 4 regioni; ora 3 rette e notiamo che possiamo avere al massimo 7 regioni.
Se si desidera, si può visualizzare il problema con il grafico sottostante. Ora ci poniamo i seguenti problemi.
[GRAFICO DA FARE]
Trovare una formula (o funzione, successione) che individui il numero delle regioni per
SOLUZIONE 1. L'idea è la seguente.
Individuiamo una retta orizzontale,
Ora, avendo definito la successione della funzione delle regioni in
Congetturiamo che
Provare che le regioni individuate con
OSS 1.1.1. Si nota, a posteriori (o anche dimostrata sopra), che indicando
SOLUZIONE. Si può dimostrare la formula
(Tratto dalla traccia di esame di Analisi Matematica I, data 01.02.2019, fila D)
Sia